Area

dimensción fixica
ZE
Quésta pàgina a l'é scrîta in léngoa zenéize
AcLiBr.jpg

A Grafîa adeuviâ a l'é quélla de l'Académia Ligùstica do Brénno

L'àrea a l'è a quantitæ ch'a mezûa l'estensción de 'na superfìcce ciànn-a, òscîa de 'na figûa inte dôe dimenscioìn. Defæti a superfìcce l'é o lêugo de pónti scitoæ in sciâ región de ciàn, a quæ estensción l'è invêce l'àrea[1].

'na superfìcce de 'n mêtro quàddro.

Pe figûe in træ dimenscioìn l'àrea l'è definîa cómme a superfìcce totâle de quéllo ògètto, inte sto câxo chi se parliâ defæti de àrea superficiâle[2][3].

Unitæ de mezûa de l'àreaModìfica

Scistêma internaçionâleModìfica

E unitæ de mezûa de l'àrea sun corispóndenti a-e relatîve unitæ de mezûa da longhéssa: ògni àrea de grandéssa unitâia l'è determinâ da 'n quadrâto i lâti do quæ sun ànche lê de longhéssa unitâia.

L'unitæ de mezûa fondamentâle a l'è o mêtro quàddro, çernûa da-o scistêma internaçionâle de unitæ de mezûa e derivâ da-o mêtro, unn-a de 7 unitæ de bâze. E âtre unitæ inportànti sun riportæ in questa tabélla chi[4]:

Unitæ de mezûa de l'àrea
Unitæ milìmetro quàddro cìtto quàddro dexímetro quàddro mêtro quàddro decàmetro quàddro etàmetro quàddro (ètaro) chilòmetro quàddro
Scìnbolo mm² cm² dm² dam² hm² km²
Valô (in mêtri quàddri) 0,000001 m² 0,0001 m² 0,01 m² 1 m² 100 m² 10.000 m² 1.000.000 m²

Âtri pàiziModìfica

Coscì cómme pe-e unitæ de mezûa da longhéssa inti pàizi de Stâti Unîi d’América, Libeîa e Myanmar, óltre che parçialménte into Régno Unîo e Cànada, se adêuvian de unitæ diferénti. Prezénpio gh'é[5]:

  • 1 pòlice quàddro = 6.4516 cm²
  • 1 pê quàddro = 0.09290304 m²
  • 1 iàrda quàddra = 0.83612736 m²
  • 1 mìggio quàddro = 2.589988110336 km²

Notâ che o mìggio utilizòu l'è quéllo terèstre (lóngo 1.609,344 m) e no quéllo marìn (lóngo 1.852 m).

Unitæ de mezûa di terénModìfica

Storicaménte sun existîe numerôze unitæ pe mezuâ l'estensción de 'n terén. Câxo particolâ l'è quéllo da giornâ piemontéize (Giornà inta léngoa locâle), pægio ciù ò mêno a 3.810 m², adêuviâ ancón a-a giornâ d’ancheu inte tùtta a región e ànche inti doî comûni de Çéngio e Mascimìn, inta provìnsa de Sànn-a.

StöiaModìfica

Àrea do çèrcioModìfica

L'àrea do cèrcio l'êa za stæta calcolâ da-i antîghi grêghi into quìnto sécolo prìmma de Crìsto. Ippocrate de Scio però l'avéiva sôlo scovèrto ch'a gh'è 'na relaçión quadrâtega tra o ràggio e l'àrea, sénsa determinâ o valô do fatô moltiplicativo. Quésto o saiâ determinòu da-o matemàtico grêgo Archimedde into seu lìbbro A mezûa do çèrcio, dónde o saiâ ciamòu pe-a prìmma vòtta π, pi grêgo.

Into 1761 o matemàtico svìsero Johann Heinrich Lambert l'ha provòu che π l'è 'n nùmero iraçionâle e, into 1882, o matemàtico tedésco Ferdinand von Lindemann l'ha invêce dimostròu che π l'è ascì 'n nùmero trascendentâle.

Àrea do triàngoloModìfica

L'àrea do triàngolo l'è stæta fòscia determinâ da-o matemàtico grêgo-egiçiàn Erone de Lusciàndria, calcolâ rispètto a-i seu lâti, into lìbbro Metrica, scrîto ciù ò mêno into 60 dòppo crìsto. Però l'è poscìbile, cómme han sugerîo çèrtidùn stòrici, che za doî sécoli prìmma o grànde matemàtico Archimedde o savesse de 'sta fórmola pe calcolâ l'àrea do triàngolo.

Àrea de âtre figûe ciànn-eModìfica

L'introduçión do ciàn cartexàn into XVII sécolo da pàrte do matemàtico françéize René Descartes l'ha permìsso a Gauss, into XIX sécolo, de elaborâ a fórmola pe calcolâ l'àrea de tùtte e figûe ciànn-e, se sun conosciûe e coordinæ di seu vèrtici.

Càlcolo integrâleModìfica

Co-a scovèrta do càlcolo integrâle, avegnûa a-a fìn do XVII sécolo, l'è diventòu poscìbile calcolâ àree de figûe ciù conplèsse, óltre che superfìcci cùrve de figûe in træ dimenscioìn.

Càlcolo de l'àreaModìfica

 
Relaçión tra 'n retàngolo e 'n triàngolo co-e mæxime mezûe.

Figûe ciànn-eModìfica

Figûe retangolâriModìfica

A ciù sénplice fórmola pe calcolâ 'n àrea l'è quélla do retàngolo, òscîa:

  dónde b l'è a bâze e h l'é l'altéssa do retàngolo.

Quésta fórmola pœ ànche êse utilizaa pe definî a òperaçión da moltiplicaçión, partindu da 'n ògètto giömétrico.

 
Método da disseçión in sce 'n paralêlogràmmo.

Into câxo b = h, òscîa se a bâze l'é pægia a l'altéssa, a figûa analizaa saiâ 'n quadrâto e a seu àrea se puriâ calcolâ comme:

  dónde l l'è ciaschedùn lâto de quéllo quadrâto[3].

Método da disseçiónModìfica

Pe figûe comme triàngoli, trapeçi o paralêlogràmmi se adêuvia o método da disseçión, "ricostroindu" a figûa into 'n retàngolo o 'n triàngolo, defæti ciaschedùn paralêlogràmmo pœ êse divîzo inte 'n trapeçio e in triàngolo. A quésto pónto se pœ façilménte dimostrâ cómme l'àrea da figûa coscì òtegnûa l'è pægia a quélla do retàngolo con mæxima bâze e altéssa. Dónca l'àrea de 'n paralêlogràmmo l'è:

  dónde b l'è a bâze e h l'é l'altéssa do paralêlogràmmo.

De ciù in çèrto paralêlogràmmo l'è divîzo inte dôe pàrte pægie da 'na seu diagonâle, ciaschedùnn-a de quæ l'è 'n triàngolo. L'àrea de sta figûa chi l'è dónca:

 
Prinçìpio de càlcolo de l'àrea do çèrcio.

  dónde b l'è a bâze e h l'é l'altéssa do paralêlogràmmo ch'o contegne o triàngolo. A-a mæxima manêa se otegne l'àrea do trapeçio e quélla do rónbo[4].

ÇèrcioModìfica

L'àrea do çèrcio se pœ ricavâ co 'n scistêma scìmile a-o método da disseçión: defæti, dæto 'n çèrcio de ràggio r, se pœ divìdde a figûa inte vàrri setoî de fórma squæxi triangolâre che, unîi tra lô, conponián in paralêlogràmmo de altéssa r e de bâze meitæ da circonferénsa, ö sæ πr.

Dónca l'àrea do çercio saiâ pægio a:

  dónde r l'è o ràggio do çèrcio e π l'è a costànte pi grêgo.

Scimilménte se pœ calcolâ l'àrea de l'elìsse, che saiâ pægia a:

 
Paràmetri de 'na sfêra.

  dónde x l'è meitæ longhéssa da diagonâle magiô e y l'è meitæ longhéssa da diagonâle minô[4].

SuperfìcciModìfica

L'idêa derê a-o càlcolo da superfìcce de 'na figûa inte træ dimenscioìn l'è de "tagiâ" e "sciacâ" quésta lóngo i seu spîgi in mòddo de òtegnî 'na figûa bidimenscionâle de-a quæ se sà còmme calcolâ l'àrea, adêuviandu i scistêmi za analizæ. L'ùnica figûa che no se pœ sciacâ e risòlve co sto método chi l'è a sfêra: inte quésto câxo bezeugna adêuviâ a fórmola de Archimedde, dónca:

  dónde r l'è o ràggio da sfêra e π l'è a costànte pi grêgo[6].

Sta fórmola chi l'è stæta scrîta pe-a prìmma vòtta da Archimedde, inte seu lìbbro Περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου (Da sfêra e do cilìndro).

Fórmole inmediâte pe-o càlcolo de l'àrea de âtre figûe tridimenscionâli sun:

  • Superfìcce do cùbbo:   dónde   l'è l'àrea de ciaschedùnn-a de sêi fàcce quadrâte[7].
  • Superfìcce do cilìndro:   dónde   l'è dôe vòtte l'àrea da bâze e   l'è l'àrea da fàccia verticâle[8].
  • Superfìcce do cöno:  , nòtta che   l'è a mezûa de l'apotema do cöno[9].
 
Raprezentaçión in sciô ciàn cartexàn de l'integrâle definîo da fonçión f(x) in sce l'intervallo [a,b].

Càlcolo co-i integrâliModìfica

Co l'introduçión, into perîodo de l'Iluminìsmo, do càlcolo infiniteximâle l'è diventòu poscìbile calcolâ l'àrea de tùtte e figûe conpréize sótta a-a cùrva de 'na fonçión conosciûa, gràçie a-o coscì dîto integrâle definîo ò integrâle segóndo Riemann. Defæti, dæta 'na fonçión definîa in sce l'intervàllo [a,b] e poxitîva inte questo intervàllo chi, l'integrâle definîo:   l'è pægio pe seu definiçión a l'àrea de sótta a-o gràfico da fonçión   (se poxitîva) conpréiza tra i pónti a e b. Dónde a fonçión l'è negatîva l'àrea òtegnûa l'è pe cóntra quélla conpréiza sórvia a cùrva da fonçión, sótta a-e ascìsse.

In concluxón l'àrea conpréiza tra i gràfici de dôe fonçioîn poxitîve saiâ a diferénsa tra o valô de quéste pe tùtto o gràfico, dónca:  [10].

NòtteModìfica

  1. (IT) Diçionâio de giòmetrîa in sciô scîto youmath.it
  2. (EN) Definiçión de àrea in sciô scîto mathworld.wolfram.com
  3. 3,0 3,1 (IT) Definiçión e fórmole de l'àrea in sciô scîto youmath.it
  4. 4,0 4,1 4,2 (IT) Unitæ de mezûa de l'àrea in sciô scîto youmath.it
  5. (EN) Weights and Measures Division, NIST, General Tables of Units of Measurement, in sce ts.nist.gov, National Institute of Standards and Technology. URL consultòu o 3 màrso 2021 (archiviòu da l'url òriginâle o 10 dexénbre 2011).
  6. (IT) Sfêra in sciô scîto youmath.it
  7. (IT) Cùbbo in sciô scîto youmath.it
  8. (IT) Cilìndro in sciô scîto youmath.it
  9. (IT) Cöno in sciô scîto youmath.it
  10. (IT) Interpretaçión giömétrica de l'integrâle de Riemann in sciô scîto youmath.it

Vôxe corelæModìfica

Âtri progèttiModìfica

Contròllo de outoritæGND (DE4193807-0